(9В-5В)*0.22А = 0.88Вт, столько будет выделяться на "линейнике", ИМХО немало, судя по доке у AMS падение напряжения при 1А 1,25В, должен нормально работать при входном напряжении 6,25В (при условии, что выходное 5), скорее всего заработает и при меньшем, вангую, что при 5,7...5,9 В, но это не точно - дока не очень.
При 6,25В падение уменьшится минимум в 3 раза, во столько же раз уменьшится мощность, выделяемая на "линейнике", должен греться меньше. Если плата сделана более-менее нормально, то "линейник" должен ее нагревать хорошо.
Ток потребления слишком мал. Если подсистема питания построена на "линейниках", без "импульсных" источников, то потребляемый ток не должен зависеть от напряжения питания.
Скорее всего на выходе входного источника питания было напряжение максимум 4,3В, скорее всего меньше, что-то просто не заработало при пониженном напряжении питания. Схемы у меня нет, а искать лень, а без схемы проще картишки раскинуть или на кофейной гуще погадать.